Le proprietà delle funzioni sono caratteristiche che aiutano a comprendere il comportamento e la struttura delle funzioni stesse. Alcune delle proprietà fondamentali delle funzioni includono l’iniettività, la suriettività, la biiettività, la monotonia, la periodicità e la continuità. Vediamo in dettaglio ciascuna di queste proprietà con esempi.
1. Iniettività (Funzioni iniettive)
Una funzione f:A→Bf: A rightarrow Bf:A→B è detta iniettiva (o funzione uno-a-uno) se per ogni coppia di elementi a1,a2∈Aa_1, a_2 in Aa1,a2∈A, f(a1)=f(a2)f(a_1) = f(a_2)f(a1)=f(a2) implica che a1=a2a_1 = a_2a1=a2. In altre parole, ogni elemento dell’insieme BBB è l’immagine di al massimo un elemento dell’insieme AAA.
Esempio: Consideriamo la funzione f:R→Rf: mathbb{R} rightarrow mathbb{R}f:R→R definita da f(x)=2x+3f(x) = 2x + 3f(x)=2x+3. Per dimostrare che fff è iniettiva, supponiamo che f(a)=f(b)f(a) = f(b)f(a)=f(b). Quindi: 2a+3=2b+32a + 3 = 2b + 32a+3=2b+3 2a=2b2a = 2b2a=2b a=ba = ba=b Quindi, fff è una funzione iniettiva.
2. Suriettività (Funzioni suriettive)
Una funzione f:A→Bf: A rightarrow Bf:A→B è detta suriettiva (o funzione su) se per ogni elemento b∈Bb in Bb∈B esiste almeno un elemento a∈Aa in Aa∈A tale che f(a)=bf(a) = bf(a)=b. In altre parole, ogni elemento dell’insieme BBB è l’immagine di almeno un elemento dell’insieme AAA.
Esempio: Consideriamo la funzione g:R→Rg: mathbb{R} rightarrow mathbb{R}g:R→R definita da g(x)=x3g(x) = x^3g(x)=x3. Per dimostrare che ggg è suriettiva, dobbiamo mostrare che per ogni y∈Ry in mathbb{R}y∈R esiste un x∈Rx in mathbb{R}x∈R tale che g(x)=yg(x) = yg(x)=y. Sia y∈Ry in mathbb{R}y∈R. Poniamo x=y3x = sqrt[3]{y}x=3y. Allora: g(x)=(y3)3=yg(x) = (sqrt[3]{y})^3 = yg(x)=(3y)3=y Quindi, ggg è una funzione suriettiva.
3. Biiettività (Funzioni biiettive)
Una funzione f:A→Bf: A rightarrow Bf:A→B è detta biiettiva se è sia iniettiva che suriettiva. In altre parole, ogni elemento di BBB è l’immagine di un solo elemento di AAA.
Esempio: Consideriamo la funzione h:R→Rh: mathbb{R} rightarrow mathbb{R}h:R→R definita da h(x)=xh(x) = xh(x)=x. La funzione hhh è chiaramente iniettiva, poiché se h(a)=h(b)h(a) = h(b)h(a)=h(b), allora a=ba = ba=b. Inoltre, hhh è suriettiva, poiché per ogni y∈Ry in mathbb{R}y∈R, h(y)=yh(y) = yh(y)=y. Quindi, hhh è biiettiva.
4. Monotonia (Funzioni monotone)
Una funzione f:A→Bf: A rightarrow Bf:A→B è detta monotona crescente se per ogni x1,x2∈Ax_1, x_2 in Ax1,x2∈A tali che x1≤x2x_1 leq x_2x1≤x2, si ha f(x1)≤f(x2)f(x_1) leq f(x_2)f(x1)≤f(x2). È detta monotona decrescente se per ogni x1,x2∈Ax_1, x_2 in Ax1,x2∈A tali che x1≤x2x_1 leq x_2x1≤x2, si ha f(x1)≥f(x2)f(x_1) geq f(x_2)f(x1)≥f(x2).
Esempio: Consideriamo la funzione k:R→Rk: mathbb{R} rightarrow mathbb{R}k:R→R definita da k(x)=3xk(x) = 3xk(x)=3x. La funzione kkk è monotona crescente, poiché se x1≤x2x_1 leq x_2x1≤x2, allora 3×1≤3x23x_1 leq 3x_23x1≤3×2, quindi k(x1)≤k(x2)k(x_1) leq k(x_2)k(x1)≤k(x2).
5. Periodicità (Funzioni periodiche)
Una funzione f:A→Bf: A rightarrow Bf:A→B è detta periodica se esiste un numero T>0T > 0T>0 tale che f(x+T)=f(x)f(x + T) = f(x)f(x+T)=f(x) per ogni x∈Ax in Ax∈A. Il numero TTT è chiamato periodo della funzione.
Esempio: Consideriamo la funzione p:R→Rp: mathbb{R} rightarrow mathbb{R}p:R→R definita da p(x)=sin(x)p(x) = sin(x)p(x)=sin(x). La funzione sin(x)sin(x)sin(x) è periodica con periodo 2π2pi2π, poiché: sin(x+2π)=sin(x)sin(x + 2pi) = sin(x)sin(x+2π)=sin(x)
6. Continuità (Funzioni continue)
Una funzione f:A→Bf: A rightarrow Bf:A→B è detta continua in un punto c∈Ac in Ac∈A se per ogni ϵ>0epsilon > 0ϵ>0 esiste un δ>0delta > 0δ>0 tale che, per ogni x∈Ax in Ax∈A, se ∣x−c∣<δ|x – c| < delta∣x−c∣<δ, allora ∣f(x)−f(c)∣<ϵ|f(x) – f(c)| < epsilon∣f(x)−f(c)∣<ϵ. Se fff è continua in ogni punto di AAA, si dice che fff è continua in AAA.
Esempio: Consideriamo la funzione q:R→Rq: mathbb{R} rightarrow mathbb{R}q:R→R definita da q(x)=x2q(x) = x^2q(x)=x2. La funzione qqq è continua, poiché per ogni c∈Rc in mathbb{R}c∈R e per ogni ϵ>0epsilon > 0ϵ>0, possiamo trovare un δ>0delta > 0δ>0 tale che se ∣x−c∣<δ|x – c| < delta∣x−c∣<δ, allora ∣x2−c2∣<ϵ|x^2 – c^2| < epsilon∣x2−c2∣<ϵ.
In conclusione, comprendere queste proprietà delle funzioni è fondamentale per l’analisi e l’applicazione delle funzioni in vari contesti matematici e scientifici.